2. Даны точки A, B, C, D и точка O — центр тяжести тетраэдра. Найдите: (а) \(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{MD}\); (б) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\); (в) \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{OC}\); (г) \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\); (д) \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD})\); (е) \(\overrightarrow{KD}-2\overrightarrow{KA}\); (ж) \(\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BC}\); (з) \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{DA}\). (В записи (а) точка M может быть K: на изображении обозначение не вполне чёткое.)

В пункте (а) обозначение средней точки неразборчиво и по изображению допускаются прочтения M или K. Остальные пункты читаются однозначно. Используем правило Шаля и преобразуем разности векторов.

1. а) Если в обоих местах стоит M: \(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DM}\). Если в обоих местах стоит K: \(\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KK}-\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{DK}\). В обоих случаях результат нельзя свести к одному вектору без дополнительных условий о точках.
2. б) По правилу последовательного сложения: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\).
3. в) \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AO}\).
4. г) \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\).
5. д) Пусть P — середина BC, а Q — середина CD. Тогда \(\frac12(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD})=\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{CQ}\). Без заданных отношений между B, C, D это выражение нельзя заменить единственным вектором с заданными концами.
6. е) \(\overrightarrow{KD}-2\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KD}-\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{AK}\).
7. ж) \(\overrightarrow{DO}-\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}\). Поскольку \(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\), получаем \(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AM}\).
8. з) \(\frac12\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{DA}=\frac12\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AD}\). Без дополнительных условий о точках это дальнейшим образом не упрощается.

В пунктах (а), (д), (е), (ж), (з) для сведения суммы к одному вектору нужны дополнительные сведения о взаимном расположении точек. Для (а) также просьба уточнить неразборчивое обозначение M/K.

Ответ: б) \(\overrightarrow{AD}\); в) \(\overrightarrow{AO}\); г) \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\); остальные результаты приведены в соответствующих пунктах.