2. Даны треугольники $DEF$ и $D_1E_1F_1$, точки $M$ и $M_1$ лежат соответственно на сторонах $DF$ и $D_1F_1$, причём $DM=3MF$ и $D_1M_1=3M_1F_1$, $DE=D_1E_1$, $EM=E_1M_1$ и $\angle DEM=\angle D_1E_1M_1$. Докажите, что $EF=E_1F_1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Даны треугольники $DEF$ и $D_1E_1F_1$, точки $M$ и $M_1$ лежат соответственно на сторонах $DF$ и $D_1F_1$,…$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим треугольники $DEM$ и $D_1E_1M_1$. По условию $DE=D_1E_1$, $EM=E_1M_1$, $\angle DEM=\angle D_1E_1M_1$. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства треугольников следует $DM=D_1M_1$ и $\angle DME=\angle D_1M_1E_1$.
Так как $M$ лежит на стороне $DF$, а $M_1$ — на стороне $D_1F_1$, из условий $DM=3MF$ и $D_1M_1=3M_1F_1$ получаем $MF=\frac{DM}{3}$ и $M_1F_1=\frac{D_1M_1}{3}$. Следовательно, $MF=M_1F_1$.
Углы $DME$ и $EMF$ смежные; так же смежны $D_1M_1E_1$ и $E_1M_1F_1$. Поэтому из равенства первых углов следует $\angle EMF=\angle E_1M_1F_1$.
В треугольниках $EMF$ и $E_1M_1F_1$ равны две стороны: $EM=E_1M_1$, $MF=M_1F_1$, и равны углы между ними. Значит, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда $EF=E_1F_1$.

Ответ: $EF=E_1F_1$.