2. Диагональ АС прямоугольника ABCD равна 8 см и составляет со стороной AD угол в 45°. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

В прямоугольнике ABCD диагональ AC равна 8 см. Угол между диагональю AC и стороной AD равен \( \angle CAD = 45^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. В нем:

• \( AC = 8 \) см (гипотенуза).
• \( \angle CAD = 45^{\circ} \).
• \( \angle ACD = 90^{\circ} - \angle CAD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle CAD = \angle ACD = 45^{\circ} \), то треугольник ADC является равнобедренным, и \( AD = CD \).

Найдем длину стороны AD, используя синус угла:

\( AD = AC \cdot \sin(\angle ACD) \)

\( AD = 8 \cdot \sin(45^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Так как \( AD = CD \), то \( CD = 4\sqrt{2} \) см.

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон:

\( S = AD \cdot CD \)

\( S = (4\sqrt{2}) \cdot (4\sqrt{2}) \)

\( S = 16 \cdot 2 = 32 \) см².

Ответ: Площадь прямоугольника равна 32 см².