2. Диагональ осевого сечения цилиндра равна \(8\sqrt{2}\) дм и образует с плоскостью основания цилиндра угол \(45^\circ\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2R\) и \(h\), где \(R\) — радиус цилиндра, а \(h\) — его высота.

1. Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен \(45^\circ\). Поэтому
   \[\tan45^\circ=\frac{h}{2R},\qquad h=2R.\]
2. По теореме Пифагора для диагонали осевого сечения:
   \[\sqrt{(2R)^2+h^2}=8\sqrt2.\]
3. Подставим \(h=2R\):
   \[\sqrt{(2R)^2+(2R)^2}=2R\sqrt2=8\sqrt2.\]
4. Отсюда \(2R=8\), значит \(R=4\) дм, а \(h=8\) дм.
5. Площадь полной поверхности цилиндра:
   \[S=2\pi R^2+2\pi Rh.\]
6. Подставим найденные значения:
   \[S=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4\cdot8=32\pi+64\pi=96\pi\text{ дм}^2.\]

Ответ: \(96\pi\) дм².