2. Диагональ равнобедренной трапеции ABCD образует с её основаниями углы 40°. Найдите больший угол трапеции, если одно её основание равно боковой стороне.

Обозначим меньшее и большее основания через s и L, боковую сторону — через l. Пусть x — горизонтальная проекция боковой стороны, а m — горизонтальная проекция диагонали. Тогда s = m − x, L = m + x. Поскольку диагональ образует с основанием угол 40°, высота трапеции равна m tan 40°.

Основание, равное боковой стороне, не может быть большим основанием: при l = L из равенства l² = x² + (m tan 40°)² и L = m + x получилось бы tan² 40° = 1 + 2x/m, что невозможно.

Значит, l = s = m − x. Подставим это в выражение для боковой стороны:

\(x^2 + (m\tan 40^\circ)^2 = (m-x)^2\).

После сокращения:

\(\tan^2 40^\circ = 1 - 2x/m\), поэтому \(m/x = 2/(1-\tan^2 40^\circ)\).

Пусть α — угол при большем основании. Тогда \(\tan\alpha = (m/x)\tan 40^\circ = 2\tan 40^\circ/(1-\tan^2 40^\circ) = \tan 80^\circ\). Следовательно, α = 80°, а соседний с ним угол равен 180° − 80° = 100°.

Ответ: 100°.