№2 Диагональ трапеции ABCD делит её на два равнобедренных треугольника: ΔABC с основанием AC и ΔBCD с основанием CD. а) Вычислите периметр трапеции, если P(ΔABC) = 18 см, P(ΔBCD) = 21 см, AC = 8 см. б) Вычислите углы трапеции, если ∠BAC = 38°.

а) Так как основание треугольника ABC — AC, его равные стороны AB и BC. Из периметра:

AB + BC = 18 − 8 = 10 см, поэтому AB = BC = 5 см.

В треугольнике BCD основание CD, следовательно, равные стороны — BC и BD. Тогда из второго периметра CD = 21 − 2 · 5 = 11 см. Но треугольник с сторонами 5 см, 5 см и 11 см существовать не может: сумма двух сторон 5 + 5 меньше третьей стороны 11.

Значит, данные пункта а) противоречивы: такой трапеции нет, и её периметр вычислить невозможно.

б) По условию AB = BC, поэтому углы при основании AC равны: ∠ACB = ∠BAC = 38°. Тогда ∠ABC = 180° − 38° − 38° = 104°.

Поскольку BC ∥ AD, углы BAC и CAD равны как накрест лежащие, поэтому угол A трапеции равен 38° + 38° = 76°. Угол B трапеции равен ∠ABC = 104°. Однако углы C и D по этим данным однозначно определить нельзя: угол треугольника BCD при вершине B не задан. Кроме того, полный набор условий задачи несовместим, как показано в пункте а).

Ответ: а) такой трапеции не существует; б) из совместимой части данных ∠A = 76°, ∠B = 104°, а ∠C и ∠D однозначно не определяются.