2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, точка H — середина отрезка AM. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AC}\); б) \(\overrightarrow{MH}=k\overrightarrow{AC}\); в) \(\overrightarrow{DM}=k\overrightarrow{AC}\).

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(\overrightarrow{AM}=\dfrac12\overrightarrow{AC}\). Также \(\overrightarrow{AH}=\dfrac12\overrightarrow{AM}=\dfrac14\overrightarrow{AC}\).

1. а) Следовательно, \(k=\dfrac12\).
2. б) Точки A, H, M лежат на диагонали AC, причём \(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{HA}=-\dfrac14\overrightarrow{AC}\). Следовательно, \(k=-\dfrac14\).
3. в) В общем случае \(\overrightarrow{DM}\) не параллелен \(\overrightarrow{AC}\), поэтому не существует числа k, для которого \(\overrightarrow{DM}=k\overrightarrow{AC}\). (Равенство возможно лишь в вырожденном случае параллелограмма.)

Ответ: а) \(\dfrac12\); б) \(-\dfrac14\); в) такого числа k нет.