2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая, которая пересекает стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Докажите, что OM = ON.

Рассмотрим треугольники AOM и CON.

1. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = OC.
2. Прямые AC и MN пересекаются в O, поэтому ∠AOM = ∠CON как вертикальные углы.
3. AB ∥ CD, а AC — секущая, поэтому ∠OAM = ∠OCN как накрест лежащие углы.
4. Следовательно, треугольники AOM и CON равны по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон OM и ON.

Следовательно, OM = ON.