Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2. Диагонали ромба равны 8 и 3 единицам. Написать уравнения сторон ромба, если большая диагональ лежит на оси ОХ, а меньшая на оси ОУ. Вычислить расстояние между параллельными сторонами этого ромба.
Ответ:
Краткая запись:
- Диагонали ромба: d1 = 8, d2 = 3
- Большая диагональ (8) лежит на оси ОХ
- Меньшая диагональ (3) лежит на оси ОУ
- Найти: Уравнения сторон ромба, расстояние между параллельными сторонами
Краткое пояснение: Ромб с диагоналями, лежащими на осях координат, имеет центр в начале координат. Вершины ромба будут расположены на осях. Расстояние между параллельными сторонами ромба равно высоте ромба.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Определим координаты вершин ромба. Большая диагональ равна 8 и лежит на оси ОХ, значит, ее концы будут (-4; 0) и (4; 0). Меньшая диагональ равна 3 и лежит на оси ОУ, значит, ее концы будут (0; -1.5) и (0; 1.5).
Вершины ромба: A(4; 0), B(0; 1.5), C(-4; 0), D(0; -1.5). - Шаг 2: Найдем уравнения сторон ромба. Рассмотрим сторону AB, проходящую через точки A(4; 0) и B(0; 1.5).
Угловой коэффициент: \( k = \frac{1.5 - 0}{0 - 4} = \frac{1.5}{-4} = -0.375 = -3/8 \)
Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)
\( y - 0 = -3/8(x - 4) \)
\( y = -3/8 x + 12/8 \)
\( y = -3/8 x + 3/2 \)
Умножим на 8 для удобства: \( 8y = -3x + 12 \)
3x + 8y - 12 = 0 (Уравнение стороны AB). - Шаг 3: Найдем уравнение параллельной стороны CD, проходящей через C(-4; 0) и D(0; -1.5). Угловой коэффициент будет таким же: \( k = -3/8 \).
Уравнение прямой: \( y - 0 = -3/8(x - (-4)) \)
\( y = -3/8 x - 12/8 \)
\( y = -3/8 x - 3/2 \)
Умножим на 8: \( 8y = -3x - 12 \)
3x + 8y + 12 = 0 (Уравнение стороны CD). - Шаг 4: Найдем уравнение стороны BC, проходящей через B(0; 1.5) и C(-4; 0).
Угловой коэффициент: \( k = \frac{0 - 1.5}{-4 - 0} = \frac{-1.5}{-4} = 0.375 = 3/8 \)
Уравнение прямой: \( y - 0 = 3/8(x - (-4)) \)
\( y = 3/8 x + 12/8 \)
\( y = 3/8 x + 3/2 \)
Умножим на 8: \( 8y = 3x + 12 \)
-3x + 8y - 12 = 0 или 3x - 8y + 12 = 0 (Уравнение стороны BC). - Шаг 5: Найдем уравнение параллельной стороны AD, проходящей через A(4; 0) и D(0; -1.5). Угловой коэффициент будет таким же: \( k = 3/8 \).
Уравнение прямой: \( y - 0 = 3/8(x - 4) \)
\( y = 3/8 x - 12/8 \)
\( y = 3/8 x - 3/2 \)
Умножим на 8: \( 8y = 3x - 12 \)
3x - 8y - 12 = 0 (Уравнение стороны AD). - Шаг 6: Вычислим расстояние между параллельными сторонами AB и CD. Используем формулу расстояния между двумя параллельными прямыми \( Ax + By + C_1 = 0 \) и \( Ax + By + C_2 = 0 \): \( d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \).
Уравнения: \( 3x + 8y - 12 = 0 \) и \( 3x + 8y + 12 = 0 \).
\( A = 3, B = 8, C_1 = -12, C_2 = 12 \)
\( d = \frac{|-12 - 12|}{\sqrt{3^2 + 8^2}} = \frac{|-24|}{\sqrt{9 + 64}} = \frac{24}{\sqrt{73}} \) - Шаг 7: Альтернативный способ расчета расстояния между параллельными сторонами — это высота ромба. Площадь ромба равна \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12 \).
Сторона ромба (a) равна половине диагоналей по теореме Пифагора: \( a = \sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 1.5^2} = \sqrt{16 + 2.25} = \sqrt{18.25} \).
Площадь ромба также равна \( S = a × h \), где h — высота (расстояние между параллельными сторонами).
\( h = \frac{S}{a} = \frac{12}{\sqrt{18.25}} = \frac{12}{\sqrt{73/4}} = \frac{12 × 2}{\sqrt{73}} = \frac{24}{\sqrt{73}} \).
Ответ: Уравнения сторон: 3x + 8y - 12 = 0, 3x + 8y + 12 = 0, 3x - 8y + 12 = 0, 3x - 8y - 12 = 0. Расстояние между параллельными сторонами: \( rac{24}{\sqrt{73}} \)
