2. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объёмов шара и цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра через \(R\), а высоту — через \(h\). Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами \(2R\) и \(h\). Поскольку это квадрат, \(h=2R\).

Диаметр шара равен высоте цилиндра, поэтому радиус шара \(r=\frac{h}{2}=R\).

Объём шара: \(V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3\). Объём цилиндра: \(V_{\text{ц}}=\pi R^2h=2\pi R^3\).

Тогда \(\frac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{ц}}}=\frac{4\pi R^3/3}{2\pi R^3}=\frac{2}{3}\).

Ответ: \(V_{\text{ш}}:V_{\text{ц}}=2:3\).