№2. Для нахождения расстояния от точки B до дерева A на другой стороне реки отметили на местности точки C, D и F так, чтобы точка C была серединой отрезка BD и угол BDF был равен углу ABC. Начертили прямую AF, проходящую через точку C, измерили одну из сторон треугольника FDC и приняли её длину за расстояние AB. Какую сторону измерили? Докажите предположение.

Так как C — середина отрезка BD, то BC = CD. Прямые AF и BD пересекаются в C, поэтому углы ACB и FCD — вертикальные и равны.

Точки B, C и D лежат на одной прямой, причём C находится на BD. Следовательно, лучи DB и DC совпадают, поэтому ∠BDF = ∠FDC. По условию ∠BDF = ∠ABC, значит, ∠ABC = ∠FDC.

Итак, в треугольниках ABC и FDC равны две пары углов: ∠ACB = ∠FCD и ∠ABC = ∠FDC. Кроме того, BC = CD. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. При соответствии вершин B ↔ D, C ↔ C, A ↔ F стороне AB соответствует сторона FD. Значит, AB = FD.

Ответ: измерили сторону FD треугольника FDC.