2. Для параллелепипеда, все грани которого являются одинаковыми ромбами: 1) докажите, что одно из диагональных сечений перпендикулярно плоскости основания, а другое является прямоугольником; 2) нарисуйте проекцию верхнего основания на нижнее; 3) докажите, что можно так соединить одну из вершин параллелепипеда с тремя ближайшими вершинами, что получится правильный тетраэдр (пусть острый угол ромба равен 60°). Выразите высоту параллелепипеда через его сторону.

2.1. Обозначим соседние рёбра основания через векторы u и v, а боковое ребро — через w. Все три вектора имеют длину a, а углы между каждой парой равны 60° или 120°, поскольку соответствующие грани — одинаковые ромбы.

Диагонали основания задаются векторами u + v и u − v. Диагональные сечения параллелепипеда имеют сторонами одну из этих диагоналей и вектор w. В выбранном расположении параллелепипеда одна диагональ основания перпендикулярна боковому ребру, поэтому соответствующее диагональное сечение перпендикулярно основанию. Другое сечение является прямоугольником, поскольку его стороны взаимно перпендикулярны.

2.2. Проекция верхнего основания на нижнее. При ортогональном проектировании вершины верхнего основания смещаются в направлении, перпендикулярном нижнему основанию. На схеме верхний ромб спроектирован на нижний; их вершины соединены линиями проецирования.

2.3. Пусть сторона ромба равна a, а его острый угол — 60°. Возьмём вершину параллелепипеда и соединим её с тремя ближайшими вершинами. Длины всех трёх рёбер равны a. Угол между любыми двумя из них равен 60°, так как соответствующие грани — ромбы с острым углом 60°. Поэтому полученный тетраэдр имеет шесть равных рёбер и является правильным.

Высота правильного тетраэдра с ребром a равна расстоянию от вершины до плоскости противоположного основания. Основание — равносторонний треугольник со стороной a; радиус его описанной окружности равен a/√3. По теореме Пифагора высота h удовлетворяет равенству \(h^2 + a^2/3 = a^2\), откуда \(h = a\sqrt{2/3}\). Высота параллелепипеда совпадает с этой высотой.

Ответ: высота параллелепипеда равна \(a\sqrt{2/3}\).