2. Доказать, что числа 266 и 285 не взаимно простые, и доказать, что 301 и 585 взаимно простые.

Найдём НОД каждой пары алгоритмом Евклида.

Для 266 и 285:

285 − 266 = 19, а 266 = 19 · 14. Значит, 19 делит оба числа, поэтому их НОД равен 19, а не 1.

Для 301 и 585:

585 = 301 · 1 + 284;

301 = 284 · 1 + 17;

284 = 17 · 16 + 12;

17 = 12 · 1 + 5;

12 = 5 · 2 + 2;

5 = 2 · 2 + 1.

Последний ненулевой остаток равен 1, следовательно, НОД(301, 585) = 1.

Ответ: 266 и 285 не взаимно простые (НОД = 19); 301 и 585 взаимно простые.