2) Доказать тождество: (sin 5α − sin 3α) / (2 cos 4α) = sin α.

Применим формулу разности синусов: \(\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\).

\(\sin 5\alpha-\sin 3\alpha=2\cos 4\alpha\sin\alpha\).

При \(\cos 4\alpha\ne 0\) подставим это выражение в левую часть и сократим:

\(\frac{\sin 5\alpha-\sin 3\alpha}{2\cos 4\alpha}=\frac{2\cos 4\alpha\sin\alpha}{2\cos 4\alpha}=\sin\alpha\).

Тождество доказано при всех значениях \(\alpha\), для которых исходная дробь определена.