2. Докажите, что 54 шарика нельзя разложить на 10 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным.

Предположим, что в каждой из 10 кучек разное положительное количество шариков. Тогда наименьшее возможное общее количество получится, если положить в кучки по 1, 2, 3, …, 10 шариков.

В этом случае понадобится \(1+2+\cdots+10=\frac{10\cdot11}{2}=55\) шариков. Это больше, чем имеющиеся 54. Значит, разложить 54 шарика на 10 кучек с различным положительным количеством шариков невозможно.

Ответ: такое разложение невозможно.