2. Докажите, что AB = CD (рис. 73), если AD = BC и ∠DAC = ∠BCA.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( Δ ADC \) и \( Δ CBA \).

У нас есть:

• \( AD = BC \) (по условию).
• \( ∠ DAC = ∠ BCA \) (по условию).
• Сторона \( AC \) является общей для обоих треугольников.

По второму признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

В нашем случае, стороны \( AD \) и \( AC \) в \( Δ ADC \) равны сторонам \( BC \) и \( AC \) в \( Δ CBA \) соответственно. Углы между ними \( ∠ DAC \) и \( ∠ BCA \) равны.

Следовательно, \( Δ ADC = Δ CBA \) по признаку СУУ (Сторона — Угол — Угол), где угол \( ∠ CAD = ∠ ACB \), сторона \( AC \) — общая, угол \( ∠ ACD = ∠ CAB \) (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей AC, что следует из равенства \( ∠ DAC = ∠ BCA \)).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, \( AB = CD \).

Доказано.