№2. Докажите, что ABCD — параллелограмм. Диагонали AC и BD пересекаются в O; на рисунке отмечены равенство углов CBD и BDA и равенство отрезков BO и OD.

Из равенства углов \(\angle CBD=\angle BDA\) следует, что прямые BC и AD параллельны: это накрест лежащие углы при секущей BD.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. По отметкам на рисунке \(BO=OD\); углы \(\angle CBO\) и \(\angle ODA\) равны, поскольку это отмеченные углы CBD и BDA. Углы \(\angle BOC\) и \(\angle DOA\) равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Значит, \(AO=OC\). По условию также \(BO=OD\), поэтому диагонали четырёхугольника ABCD делятся точкой пересечения пополам.

Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, ABCD — параллелограмм.