2. Докажите, что биссектрисы углов произвольного прямоугольника при пересечении образуют квадрат.

Пусть биссектрисы четырёх углов прямоугольника пересекаются и образуют четырёхугольник.

1. Каждый угол прямоугольника равен 90°, поэтому его биссектриса делит его на два угла по 45°.
2. Соседние углы прямоугольника смежны. Биссектрисы таких углов образуют угол \(45°+45°=90°\). Значит, все четыре угла полученного четырёхугольника прямые.
3. Противоположные углы прямоугольника равны, поэтому их биссектрисы параллельны. Следовательно, полученный четырёхугольник — прямоугольник.
4. В каждом углу прямоугольника отрезки от вершины до точек пересечения биссектрис равны: каждый является катетом прямоугольного равнобедренного треугольника с углом 45°. Поэтому стороны полученного прямоугольника равны.

Прямоугольник с равными сторонами — квадрат.

Ответ: биссектрисы образуют квадрат.