2. Докажите, что четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник \(ABCD\), у которого все стороны равны:

\[AB=BC=CD=DA.\]

Проведём диагональ \(AC\). В треугольниках \(ABC\) и \(CDA\):

• \(AB=CD\) по условию;
• \(BC=DA\) по условию;
• \(AC\) — общая сторона.

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по трём сторонам. Поэтому равны соответственные углы:

\[\angle BAC=\angle ACD,\qquad \angle BCA=\angle CAD.\]

Это пары накрест лежащих углов, значит:

\[AB\parallel CD,\qquad BC\parallel AD.\]

Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм. Поскольку у него все стороны равны, по определению он является ромбом.

Что и требовалось доказать.