2. Докажите, что если a и b нечётные числа, то a² − b² делится на 8.

Пусть a и b нечётные целые числа. Тогда можно записать \(a=2m+1\) и \(b=2n+1\), где m и n — целые числа.

Разложим разность квадратов: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Сумма и разность двух нечётных чисел чётны, поэтому оба множителя делятся на 2. Чтобы показать делимость произведения на 8, рассмотрим их точнее: \(a-b=2(m-n)\), \(a+b=2(m+n+1)\). Числа \(m-n\) и \(m+n+1\) имеют разную чётность: их сумма \(2m+1\) нечётна, следовательно, одно из них чётно.

Значит, произведение \((a-b)(a+b)=4(m-n)(m+n+1)\) содержит множитель \(4\) и ещё один множитель 2, поэтому делится на 8.

Ответ: если a и b нечётные, то a² − b² делится на 8.