2. Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то AB ∥ CD после построения точки D, для которой M — середина AD (то есть MD = AM, а D лежит на продолжении AM).

Поскольку AM — медиана треугольника ABC, точка M — середина BC, значит, BM = MC. По построению MD = AM, а точки A, M, D лежат на одной прямой, поэтому M — середина AD.

Рассмотрим четырёхугольник ABDC. Его диагонали AD и BC пересекаются в точке M и делятся этой точкой пополам: AM = MD и BM = MC. Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, его противоположные стороны параллельны: AB ∥ DC.

Что и требовалось доказать.