2) Докажите, что если диагонали трапеции перпендикулярны, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна полусумме оснований: PQ = (b + a)/2. В решении через точку C проведена прямая, параллельная BD, и прямая PQ.

Обозначим основания трапеции BC = a и AD = b, а O — точку пересечения перпендикулярных диагоналей. P и Q — середины оснований. Через C проведём прямую, параллельную BD, а через P — прямую PQ.

Четырёхугольники QPCH и DBCG — параллелограммы: их противоположные стороны попарно параллельны. Поэтому QH = PC = a/2 и DG = BC = a. Так как AC ⟂ BD и CG ∥ BD, получаем AC ⟂ CG; значит, треугольник ACG прямоугольный с прямым углом при C.

Поскольку AQ = b/2 и QH = a/2, AH = AQ + QH = (a + b)/2. Кроме того, AG = AD + DG = b + a. Следовательно, AH = AG/2. В прямоугольном треугольнике ACG точка H — середина гипотенузы AG, поэтому CH = AG/2 = (a + b)/2. Так как P, C, H расположены на одной прямой, а Q, P и H — на прямой PQ, отрезок между серединами оснований имеет длину PQ = (a + b)/2.

Ответ: PQ = (a + b)/2.