2. Докажите, что катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 30^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Пусть \( BC = a \) — катет, лежащий против угла \( A \), \( AC = b \) — катет, прилежащий к углу \( A \), и \( AB = c \) — гипотенуза.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

\( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

Подставляем известные значения:

\( \sin 30^{\circ} = \frac{a}{c} \)

Мы знаем, что \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).

Следовательно,

\( \frac{1}{2} = \frac{a}{c} \)

Отсюда следует, что \( c = 2a \), или \( a = \frac{1}{2} c \).

Это означает, что катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \) (катет \( a \)), равен половине гипотенузы \( c \).

Что и требовалось доказать.