* 2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения \(\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right)^2:\frac{a^4}{a^2-2a+1}\) не зависит от значения переменной.

ОДЗ: \(a\ne1\), поскольку \(a^2-2a+1=(a-1)^2\) не должно равняться нулю. Кроме того, делитель дроби должен быть ненулевым, поэтому \(a\ne0\).

1. Приведём выражение в скобках к общей дроби:

   \(a+1+\frac1{a-1}=\frac{(a+1)(a-1)+1}{a-1}=\frac{a^2}{a-1}\).

2. Возведём дробь в квадрат и разложим знаменатель делителя:

   \(\left(\frac{a^2}{a-1}\right)^2:\frac{a^4}{(a-1)^2}=\frac{a^4}{(a-1)^2}:\frac{a^4}{(a-1)^2}\).

3. Частное равных ненулевых выражений равно единице. На ОДЗ оба выражения ненулевые, так как \(a\ne0\) и \(a\ne1\).

Ответ: значение выражения постоянно и равно \(1\).