2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения \(\left(a+1+\frac{1}{a-1}\right)^2 : \frac{a^4}{a^2-2a+1}\) не зависит от значения переменной.

Допустимы значения \(a\ne1\), поскольку \(a-1\) и \(a^2-2a+1=(a-1)^2\) не должны равняться нулю. Кроме того, делитель \(\frac{a^4}{(a-1)^2}\) должен быть ненулевым, поэтому \(a\ne0\).

Преобразуем выражение в скобках:

\(a+1+\frac{1}{a-1}=\frac{(a+1)(a-1)+1}{a-1}=\frac{a^2}{a-1}\).

Тогда всё выражение равно

\(\left(\frac{a^2}{a-1}\right)^2 : \frac{a^4}{(a-1)^2}=\frac{a^4}{(a-1)^2}\cdot\frac{(a-1)^2}{a^4}=1\).

Полученное значение одинаково для всех допустимых \(a\).

Ответ: выражение не зависит от значения переменной и равно 1 при \(a\ne0,1\).