2. Докажите, что при всех допустимых значениях выражение \(\left(\frac{4y}{4-y^2}-\frac{y-2}{4+2y}\right)\cdot\frac4{y+2}-\frac{y}{2-y}\) постоянно.

Проверим упрощение выражения, считая записанный между скобками и дробью знак умножением.

Сначала упростим разность в скобках. Так как \(4-y^2=(2-y)(2+y)\), а \(4+2y=2(y+2)\), получаем:

\(\frac{4y}{4-y^2}-\frac{y-2}{4+2y}=\frac{4y}{(2-y)(y+2)}+\frac{2-y}{2(y+2)}=\frac{4y+(2-y)^2}{2(2-y)(y+2)}=\frac{y^2+4}{2(2-y)(y+2)}.\)

После умножения на \(\frac4{y+2}\) и вычитания последней дроби:

\(\left(\frac{y^2+4}{2(2-y)(y+2)}\right)\cdot\frac4{y+2}-\frac{y}{2-y}=\frac{2(y^2+4)-y(y+2)^2}{(2-y)(y+2)^2}.\)

Это выражение не постоянно: при \(y=0\) оно равно 2, а при \(y=1\) — 1. Оба значения допустимы, поэтому доказать постоянство для выражения в таком прочтении нельзя. Вероятно, в условии есть ошибка или знак/элемент прочитан неверно; пришлите более чёткое изображение этого выражения.

Ограничения исходного выражения: \(y\ne-2\), \(y\ne2\).