2. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{(x-2)^2}{2}\left(\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители:

$x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:

$\dfrac{1}{(x-2)(x+2)}+\dfrac{1}{(x-2)^2}=\dfrac{x-2+x+2}{(x-2)^2(x+2)}=\dfrac{2x}{(x-2)^2(x+2)}$.

Подставим результат в выражение и сократим:

$\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{(x-2)^2}{2}\cdot\dfrac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{x}{x+2}=0$.

Сокращения допустимы при указанном условии $x\ne\pm2$. Полученное значение постоянно и от $x$ не зависит.

Ответ: значение выражения равно 0.

2. Докажите, что при всех значениях \(x\ne\pm2\) значение выражения \(\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{(x-2)^2}{2}\left(\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{1}{x^2-4x+4}\right)\) не зависит от \(x\).