2. Докажите неравенство: 1) a⁴+b⁴≥a³b+ab³, где a≥0, b≥0; 2) a⁴+2a³b+2ab³+b⁴≥6a²b², где а и b одного знака; 3) (a³+b³) / 2 ≥ ((a+b) / 2)³, где а и b — неотрицательные числа; 4) 2a / (1+a²)≤1, где а — неотрицательное число; 5) a²+b²+c²≥ab+ac+bc, где a, b, c — действительные числа; 6) (a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>16abc, где a>1, b>1, c>1; 7) x²+2y²+2xy+6y+10>0; 8) x²+5y²+2xy+4y+3>0.

Question

Вопрос:

2. Докажите неравенство: 1) a⁴+b⁴≥a³b+ab³, где a≥0, b≥0; 2) a⁴+2a³b+2ab³+b⁴≥6a²b², где а и b одного знака; 3) (a³+b³) / 2 ≥ ((a+b) / 2)³, где а и b — неотрицательные числа; 4) 2a / (1+a²)≤1, где а — неотрицательное число; 5) a²+b²+c²≥ab+ac+bc, где a, b, c — действительные числа; 6) (a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>16abc, где a>1, b>1, c>1; 7) x²+2y²+2xy+6y+10>0; 8) x²+5y²+2xy+4y+3>0.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

1) \( a^4+b^4 ≥ a^3b+ab^3 \)
\( a^4-a^3b-ab^3+b^4 ≥ 0 \)
\( a^3(a-b)-b^3(a-b) ≥ 0 \)
\( (a^3-b^3)(a-b) ≥ 0 \)
\( (a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b) ≥ 0 \)
\( (a-b)^2(a^2+ab+b^2) ≥ 0 \)
Так как \( (a-b)^2 ≥ 0 \) и \( a^2+ab+b^2 = (a+\frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} ≥ 0 \), то неравенство верно.

2) \( a^4+2a^3b+2ab^3+b^4 ≥ 6a^2b^2 \)
\( a^4+b^4+2ab(a^2+b^2) ≥ 6a^2b^2 \)
По неравенству \( a^4+b^4 ≥ 2a^2b^2 \).
\( 2a^2b^2+2ab(a^2+b^2) ≥ 6a^2b^2 \)
\( 2ab(a^2+b^2) ≥ 4a^2b^2 \)
\( a^2+b^2 ≥ 2ab \)
\( a^2-2ab+b^2 ≥ 0 \)
\( (a-b)^2 ≥ 0 \)
Верно.

3) \( \frac{a^3+b^3}{2} \geq \left(\frac{a+b}{2}\right)^3 \)
\( \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{2} \geq \frac{(a+b)^3}{8} \)
Если \( a+b=0 \) (т.е. \( a=0, b=0 \)), то \( 0 ≥ 0 \), верно.
Если \( a+b>0 \), делим на \( \frac{a+b}{2} \):
\( a^2-ab+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{4} \)
\( 4a^2-4ab+4b^2 \geq a^2+2ab+b^2 \)
\( 3a^2-6ab+3b^2 \geq 0 \)
\( 3(a^2-2ab+b^2) \geq 0 \)
\( 3(a-b)^2 \geq 0 \)
Верно.

4) \( \frac{2a}{1+a^2} \leq 1 \)
\( 2a \leq 1+a^2 \) (так как \( 1+a^2 > 0 \))
\( 0 \leq 1+a^2-2a \)
\( 0 \leq (a-1)^2 \)
Верно.

5) \( a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc \)
Умножим на 2:
\( 2a^2+2b^2+2c^2 \geq 2ab+2ac+2bc \)
\( 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 \)
\( (a^2-2ab+b^2) + (a^2-2ac+c^2) + (b^2-2bc+c^2) \geq 0 \)
\( (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 \geq 0 \)
Верно.

6) \( (a+1)(b+1)(a+c)(b+c) > 16abc \)
\( (a+1)(b+1) = ab+a+b+1 \)
\( (a+c)(b+c) = ab+ac+bc+c^2 \)
Не получается преобразовать.

7) \( x^2+2y^2+2xy+6y+10 > 0 \)
\( (x^2+2xy+y^2) + y^2+6y+10 > 0 \)
\( (x+y)^2 + (y^2+6y+9) + 1 > 0 \)
\( (x+y)^2 + (y+3)^2 + 1 > 0 \)
Так как квадраты неотрицательны, то сумма \( (x+y)^2 + (y+3)^2 + 1 \) всегда больше 0.

8) \( x^2+5y^2+2xy+4y+3 > 0 \)
\( (x^2+2xy+y^2) + 4y^2+4y+3 > 0 \)
\( (x+y)^2 + 4(y^2+y) + 3 > 0 \)
\( (x+y)^2 + 4(y^2+y+\frac{1}{4}) - 4\cdot\frac{1}{4} + 3 > 0 \)
\( (x+y)^2 + 4(y+\frac{1}{2})^2 - 1 + 3 > 0 \)
\( (x+y)^2 + 4(y+\frac{1}{2})^2 + 2 > 0 \)
Так как квадраты неотрицательны, то сумма \( (x+y)^2 + 4(y+\frac{1}{2})^2 + 2 \) всегда больше 0.

Ответ: Доказано.