2) Докажите тождество: $\dfrac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\left(\dfrac{1}{(m+8)^2}+\dfrac{2}{m^2-64}+\dfrac{1}{(m-8)^2}\right)=2m$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2) Докажите тождество: $\dfrac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\left(\dfrac{1}{(m+8)^2}+\dfrac{2}{m^2-64}+\dfrac{1}{(m-8)^2}\right)=2m$.$ Фото задания

2) Докажите тождество: $\dfrac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\left(\dfrac{1}{(m+8)^2}+\dfrac{2}{m^2-64}+\dfrac{1}{(m-8)^2}\right)=2m$.

Accepted Answer

Область допустимых значений: $m\ne -8$, $m\ne 8$, поскольку знаменатели не должны обращаться в нуль. Кроме того, делитель должен быть ненулевым.

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю $(m^2-64)^2$:
\[\frac{1}{(m+8)^2}+\frac{2}{m^2-64}+\frac{1}{(m-8)^2}=\frac{(m-8)^2+2(m^2-64)+(m+8)^2}{(m^2-64)^2}.\]
Упростим числитель:
\[(m-8)^2+2(m^2-64)+(m+8)^2=4m^2.\]
Поэтому выражение в скобках равно $\dfrac{4m^2}{(m^2-64)^2}$. Оно не равно нулю при $m\ne0$, следовательно, дополнительно исключаем $m=0$.
Подставим результат и выполним деление:
\[\frac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\frac{4m^2}{(m^2-64)^2}=\frac{8m^3}{(m^2-64)^2}\cdot\frac{(m^2-64)^2}{4m^2}=2m.\]

Ответ: тождество верно при $m\ne -8, 0, 8$.

2) Докажите тождество: \(\dfrac{8m^3}{(m^2-64)^2}:\left(\dfrac{1}{(m+8)^2}+\dfrac{2}{m^2-64}+\dfrac{1}{(m-8)^2}\right)=2m\).

Ответ: