2) Докажите тождество: $\frac{(a-b)^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)+\frac{3a+b}{a+b}=3$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2) Докажите тождество: $\frac{(a-b)^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)+\frac{3a+b}{a+b}=3$.$ Фото задания

2) Докажите тождество: $\frac{(a-b)^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)+\frac{3a+b}{a+b}=3$.

Accepted Answer

Область допустимых значений: $a\ne 0$, $a\ne b$, $a\ne -b$.

Распределим множитель перед скобками:

$\frac{(a-b)^2}{a}\cdot\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{(a-b)^2}{a}\cdot\frac{a}{b^2-a^2}+\frac{3a+b}{a+b}.$

В первом слагаемом сократим одинаковые множители. Во втором разложим разность квадратов:

$1+\frac{(a-b)^2}{(b-a)(b+a)}+\frac{3a+b}{a+b}.$

Так как $b-a=-(a-b)$, получаем:

$1-\frac{a-b}{a+b}+\frac{3a+b}{a+b}=1+\frac{b-a+3a+b}{a+b}.$

$1+\frac{2a+2b}{a+b}=1+2=3.$

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях переменных. Тождество доказано.

2) Докажите тождество: \(\frac{(a-b)^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{(a-b)^2}+\frac{a}{b^2-a^2}\right)+\frac{3a+b}{a+b}=3\).

Ответ: