2. Докажите тождество: \(\left(\frac{1}{(a-2)^2}+\frac{2}{a^2-4}+\frac{1}{(a+2)^2}\right):\frac{2a}{(a^2-4)^2}=2a\).

ОДЗ: \(a\ne -2\), \(a\ne 2\), \(a\ne 0\).

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

\[\frac{1}{(a-2)^2}+\frac{2}{a^2-4}+\frac{1}{(a+2)^2}=\frac{(a+2)^2+2(a^2-4)+(a-2)^2}{(a^2-4)^2}.\]

Раскроем скобки в числителе:

\[(a+2)^2+2(a^2-4)+(a-2)^2=a^2+4a+4+2a^2-8+a^2-4a+4=4a^2.\]

Следовательно,

\[\left(\frac{1}{(a-2)^2}+\frac{2}{a^2-4}+\frac{1}{(a+2)^2}\right):\frac{2a}{(a^2-4)^2}=\frac{4a^2}{(a^2-4)^2}\cdot\frac{(a^2-4)^2}{2a}=2a.\]

Ответ: тождество доказано при \(a\ne -2,\ 0,\ 2\).