2) Две соседние вершины трапеции и точка пересечения диагоналей лежат в одной плоскости. Докажите, что две другие вершины трапеции лежат в этой же плоскости. Не забывай метод от противного.

Обозначим трапецию ABCD так, что её соседние вершины A и B лежат в данной плоскости α, а диагонали AC и BD пересекаются в точке O, также лежащей в α.

Прямая AB целиком лежит в α. Точка O принадлежит диагонали BD, поэтому прямая BO лежит в α: она проходит через две точки B и O этой плоскости. Следовательно, D ∈ α.

Аналогично, прямая AO лежит в α, поскольку A и O принадлежат α. Так как C ∈ AO, получаем C ∈ α.

Можно сформулировать через метод от противного: если бы C не лежала в α, то прямая AC пересекала бы α только в точке A, тогда как O ∈ AC и O ∈ α; поскольку O отлично от A, это противоречие. Аналогично доказывается, что D лежит в α.

Ответ: обе другие вершины трапеции лежат в той же плоскости.