2. Две стороны треугольника равны 5 см и 13 см, а синус угла между ними равен 2√5/5. Найдите третью сторону треугольника.

Синус заданного угла равен \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\), поэтому его косинус может быть положительным или отрицательным: \(\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\). Оба случая возможны для угла треугольника.

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\):

Если \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}}\), то \(c^2=5^2+13^2-2\cdot5\cdot13\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=194-26\sqrt{5}\), следовательно, \(c=\sqrt{194-26\sqrt{5}}\) см.

Если \(\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{5}}\), то \(c^2=5^2+13^2+2\cdot5\cdot13\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=194+26\sqrt{5}\), следовательно, \(c=\sqrt{194+26\sqrt{5}}\) см. Обе длины удовлетворяют неравенству треугольника.

Ответ: \(\sqrt{194-26\sqrt{5}}\) см или \(\sqrt{194+26\sqrt{5}}\) см.