№2. Две трубы заполняют резервуар объёмом 225 литров. Первая труба пропускает на 40 литров воды в минуты меньше, чем вторая труба. Вторая труба заполняет резервуар на 18 минут быстрее, чем первая труба. Сколько литров воды в минуты пропускает вторая труба?

Привет! Давай разберемся с этой задачкой вместе. Она немного запутанная, но мы справимся!

Дано:

• Объем резервуара: 225 литров.
• Разница в скорости первой и второй труб: первая труба пропускает на 40 л/мин меньше, чем вторая.
• Разница во времени заполнения: вторая труба заполняет резервуар на 18 минут быстрее, чем первая.

Что нужно найти: Скорость второй трубы (литров в минуту).

Решение:

Обозначим:

• Пусть x — скорость второй трубы (л/мин).
• Тогда скорость первой трубы будет x - 40 (л/мин).
• Время, за которое вторая труба заполнит резервуар: 225 / x (минут).
• Время, за которое первая труба заполнит резервуар: 225 / (x - 40) (минут).

По условию задачи, вторая труба заполняет резервуар на 18 минут быстрее первой. Это значит, что время первой трубы больше времени второй на 18 минут. Запишем это в виде уравнения:

\[ \frac{225}{x - 40} - \frac{225}{x} = 18 \]

Теперь решаем это уравнение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю (x(x - 40)):
2. \[ \frac{225x - 225(x - 40)}{x(x - 40)} = 18 \]
3. Упростим числитель:
4. \[ \frac{225x - 225x + 225 × 40}{x^2 - 40x} = 18 \]
5. \[ \frac{9000}{x^2 - 40x} = 18 \]
6. Теперь умножим обе части на знаменатель:
7. \[ 9000 = 18(x^2 - 40x) \]
8. Разделим обе части на 18:
9. \[ \frac{9000}{18} = x^2 - 40x \]
10. \[ 500 = x^2 - 40x \]
11. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
12. \[ x^2 - 40x - 500 = 0 \]
13. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$.
14. В нашем случае $$a = 1$$, $$b = -40$$, $$c = -500$$.
15. \[ D = (-40)^2 - 4 × 1 × (-500) \]
16. \[ D = 1600 + 2000 \]
17. \[ D = 3600 \]
18. Найдем корни уравнения по формуле: $$x = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a}$$.
19. \[ x_1 = \frac{-(-40) + \sqrt{3600}}{2 × 1} = \frac{40 + 60}{2} = \frac{100}{2} = 50 \]
20. \[ x_2 = \frac{-(-40) - \sqrt{3600}}{2 × 1} = \frac{40 - 60}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, мы выбираем положительный корень.

Значит, скорость второй трубы — 50 л/мин.

Проверка:

• Скорость второй трубы = 50 л/мин.
• Скорость первой трубы = 50 - 40 = 10 л/мин.
• Время второй трубы = 225 / 50 = 4.5 минуты.
• Время первой трубы = 225 / 10 = 22.5 минуты.
• Разница во времени: 22.5 - 4.5 = 18 минут. Все верно!

Ответ: 50 литров в минуты.