2. f(x) = 0,5x^2 - 2x - 6

Решение:

Для нахождения экстремумов функции \( f(x) = 0,5x^2 - 2x - 6 \), сначала найдем её производную:

\[ f'(x) = 0,5 \cdot 2x - 2 \]

\[ f'(x) = x - 2 \]

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ x - 2 = 0 \]

\[ x = 2 \]

Критическая точка — \( x = 2 \).

Исследуем знак производной:

• При \( x < 2 \), например \( x = 0 \): \( f'(0) = 0 - 2 = -2 < 0 \). Функция убывает.


• При \( x > 2 \), например \( x = 3 \): \( f'(3) = 3 - 2 = 1 > 0 \). Функция возрастает.

Следовательно, в точке \( x = 2 \) функция имеет минимум.

Найдем значение функции в точке минимума:

\[ f(2) = 0,5(2)^2 - 2(2) - 6 \]

\[ f(2) = 0,5(4) - 4 - 6 \]

\[ f(2) = 2 - 4 - 6 \]

\[ f(2) = -8 \]

Таким образом, минимум функции находится в точке (2; -8).

Ответ: Минимум функции в точке \( x = 2 \), \( f(2) = -8 \).