2*. Фирма «Зорька» выпускает молоко в бутылках на двух заводах: А и Б. Известно, что 40% бутылок с завода А поступают в торговую сеть «Супер», а с завода Б в эту сеть поступают только 25% бутылок. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине «Супер» бутылка фирмы «Зорька» произведена на заводе А, если известно, что 70% своей продукции «Зорька» отгружает другим торговым сетям?

Решение:

Обозначим события:

• \( A \) — бутылка произведена на заводе А.
• \( B \) — бутылка произведена на заводе Б.
• \( S \) — бутылка поступила в сеть «Супер».

Из условия известно:

• \( P(S|A) = 0.40 \) (40% продукции завода А поступают в «Супер»).
• \( P(S|B) = 0.25 \) (25% продукции завода Б поступают в «Супер»).
• \( P(\text{другие сети}) = 0.70 \).

Следовательно, доля продукции, поступающей в сеть «Супер», составляет \( P(S) = 1 - P(\text{другие сети}) = 1 - 0.70 = 0.30 \).

Пусть \( P(A) \) — доля продукции завода А, а \( P(B) \) — доля продукции завода Б. Поскольку всего два завода, \( P(A) + P(B) = 1 \).

Нам нужно найти \( P(A|S) \) — вероятность того, что бутылка произведена на заводе А, если она поступила в сеть «Супер». Воспользуемся формулой Байеса:

\[ P(A|S) = \frac{P(S|A) P(A)}{P(S)} \]

Для применения формулы нам нужно найти \( P(A) \) и \( P(B) \). Из условия \( P(S) = P(S|A)P(A) + P(S|B)P(B) \). У нас есть \( P(S) = 0.30 \) и \( P(S|A) = 0.40 \), \( P(S|B) = 0.25 \).

Подставим \( P(B) = 1 - P(A) \) в уравнение для \( P(S) \):

\[ 0.30 = 0.40 · P(A) + 0.25 · (1 - P(A)) \]

\[ 0.30 = 0.40 · P(A) + 0.25 - 0.25 · P(A) \]

\[ 0.30 - 0.25 = (0.40 - 0.25) · P(A) \]

\[ 0.05 = 0.15 · P(A) \]

\[ P(A) = \frac{0.05}{0.15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \]

Теперь найдём \( P(B) \):

\[ P(B) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Теперь мы можем найти \( P(A|S) \) с помощью формулы Байеса:

\[ P(A|S) = \frac{P(S|A) P(A)}{P(S)} = \frac{0.40 · \frac{1}{3}}{0.30} = \frac{\frac{0.40}{3}}{0.30} = \frac{0.40}{3 · 0.30} = \frac{0.40}{0.90} = \frac{4}{9} \]

Ответ: \( \frac{4}{9} \).