2 \( \frac{1}{15} - 1 \frac{5}{9} : 2 \frac{1}{3} + 1 \frac{2}{5} \) \(\cdot\) 2 \(\frac{6}{7}\) - 3 \(\frac{1}{7}\)

Решение:

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
   \( 2 \frac{1}{15} = \frac{2 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{31}{15} \)
   \( 1 \frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9} \)
   \( 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)
   \( 1 \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5} \)
   \( 2 \frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7} \)
   \( 3 \frac{1}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{22}{7} \)
2. Подставим неправильные дроби в выражение:
   \( \frac{31}{15} - \frac{14}{9} : \frac{7}{3} + \frac{7}{5} \) \(\cdot\) \(\frac{20}{7}\) - \(\frac{22}{7}\)
3. Выполним деление:
   \( \frac{14}{9} : \frac{7}{3} = \frac{14}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} \)
4. Подставим результат деления:
   \( \frac{31}{15} - \frac{2}{3} + \frac{7}{5} \) \(\cdot\) \(\frac{20}{7}\) - \(\frac{22}{7}\)
5. Выполним сложение и вычитание в скобках:
   \( \frac{31}{15} - \frac{2}{3} + \frac{7}{5} = \frac{31}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{7 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{31}{15} - \frac{10}{15} + \frac{21}{15} = \frac{31 - 10 + 21}{15} = \frac{42}{15} \)
6. Сократим дробь:
   \( \frac{42}{15} = \frac{14 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{14}{5} \)
7. Подставим результат:
   \( \frac{14}{5} \cdot \frac{20}{7} - \frac{22}{7}
8. Выполним умножение:
   \( \frac{14}{5} \cdot \frac{20}{7} = \frac{14 \cdot 20}{5 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 8 \)
9. Подставим результат:
   \( 8 - \frac{22}{7}
10. Выполним вычитание:
    \( 8 - \frac{22}{7} = \frac{8 \cdot 7}{7} - \frac{22}{7} = \frac{56}{7} - \frac{22}{7} = \frac{56 - 22}{7} = \frac{34}{7} \)
11. Переведём неправильную дробь в смешанное число:
    \( \frac{34}{7} = 4 \frac{6}{7} \)

Ответ: \( 4 \frac{6}{7} \).