2) \(\frac{5}{12}y + 3\frac{2}{9} + 1\frac{7}{8}y = 5\frac{1}{18}\)

Решение:

Чтобы решить данное уравнение, сначала приведём смешанные числа к неправильным дробям и объединим члены с переменной \( y \) и свободные члены.

1. Перепишем уравнение, преобразуя смешанные числа в неправильные дроби:
• \( 3\frac{2}{9} = \frac{3 \times 9 + 2}{9} = \frac{27 + 2}{9} = \frac{29}{9} \)
• \( 5\frac{1}{18} = \frac{5 \times 18 + 1}{18} = \frac{90 + 1}{18} = \frac{91}{18} \)
2. Уравнение принимает вид:
\[ \frac{5}{12}y + \frac{29}{9} + \frac{7}{8}y = \frac{91}{18} \]

2. Объединим члены с \( y \):
\[ \left( \frac{5}{12} + \frac{7}{8} \right) y + \frac{29}{9} = \frac{91}{18} \]
3. Приведём дроби \( \frac{5}{12} \) и \( \frac{7}{8} \) к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 8 равен 24.
• \( \frac{5}{12} = \frac{5 \times 2}{12 \times 2} = \frac{10}{24} \)
• \( \frac{7}{8} = \frac{7 \times 3}{8 \times 3} = \frac{21}{24} \)
4. Сложим дроби:
\[ \frac{10}{24} + \frac{21}{24} = \frac{31}{24} \]
5. Уравнение теперь выглядит так:
\[ \frac{31}{24}y + \frac{29}{9} = \frac{91}{18} \]
6. Вычтем \( \frac{29}{9} \) из обеих частей уравнения:
\[ \frac{31}{24}y = \frac{91}{18} - \frac{29}{9} \]
7. Приведём дроби \( \frac{91}{18} \) и \( \frac{29}{9} \) к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 9 равен 18.
• \( \frac{29}{9} = \frac{29 \times 2}{9 \times 2} = \frac{58}{18} \)
8. Выполним вычитание:
\[ \frac{91}{18} - \frac{58}{18} = \frac{33}{18} \]
9. Уравнение стало:
\[ \frac{31}{24}y = \frac{33}{18} \]
10. Упростим дробь \( \frac{33}{18} \) (разделим числитель и знаменатель на 3):
\[ \frac{33}{18} = \frac{11}{6} \]
11. Уравнение:
\[ \frac{31}{24}y = \frac{11}{6} \]
12. Чтобы найти \( y \), разделим \( \frac{11}{6} \) на \( \frac{31}{24} \) (или умножим на обратную дробь):
\[ y = \frac{11}{6} \div \frac{31}{24} = \frac{11}{6} \times \frac{24}{31} \]
13. Сократим дробь \( \frac{24}{6} \) (разделим 24 на 6, получим 4):
\[ y = 11 \times \frac{4}{31} = \frac{44}{31} \]
14. Полученную неправильную дробь можно представить как смешанное число:
• \( 44 \div 31 = 1 \) с остатком \( 44 - 31 = 13 \)
• \( \frac{44}{31} = 1\frac{13}{31} \)

Ответ: \( y = \frac{44}{31} \) или \( y = 1\frac{13}{31} \).