2. Идущая вверх по реке моторная лодка встретила сплавляемые по течению реки плоты. Через час после встречи лодочный мотор заглох. Ремонт мотора продолжался 30 мин. В течение этого времени лодка свободно плыла вниз по течению. После ремонта лодка поплыла вниз по течению с прежней относительно воды скоростью и нагнала плоты на расстоянии 7,5 км от места их первой встречи. Определите скорость течения реки, считая ее постоянной.

Решение:

Обозначим:

• \( v_л \) — скорость лодки относительно воды (км/ч)
• \( v_т \) — скорость течения реки (км/ч)

1. Встреча с плотами:

Лодка плыла вверх по течению 1 час. Расстояние, которое она прошла против течения: \( S_1 = (v_л - v_т) × 1 = v_л - v_т \).

2. Ремонт мотора:

Мотор заглох на 30 минут (0,5 часа). Лодка плыла вниз по течению. Расстояние, которое проплыла лодка за это время: \( S_2 = (v_л + v_т) × 0.5 = 0.5(v_л + v_т) \).

3. Продолжение движения лодки и встреча с плотами:

После ремонта лодка плыла вниз по течению и нагнала плоты. Расстояние, которое проплыла лодка от места поломки до плотов: \( S_3 = (v_л + v_т) × t \), где \( t \) — время в пути после ремонта.

Плоты за это время проплыли расстояние: \( S_{плотов} = v_т × t \).

Место встречи плотов с лодкой после ремонта находится на расстоянии 7,5 км от места первой встречи. Это значит, что плоты прошли 7,5 км от начальной точки встречи до момента, когда лодка их нагнала.

Связь расстояний:

Общее расстояние, пройденное лодкой вверх от начальной точки до места поломки: \( S_1 = v_л - v_т \).

Лодка проплыла вниз во время ремонта: \( S_2 = 0.5(v_л + v_т) \).

Затем лодка плыла вниз и нагнала плоты. За время \( t \) лодка прошла \( (v_л + v_т)t \). За это же время плоты прошли \( v_т t \).

Разница расстояний, которую лодка сократила, чтобы нагнать плоты, равна \( S_3 - S_{плотов} = (v_л + v_т)t - v_т t = v_л t \).

Это расстояние равно разнице пути лодки против течения и пути плотов от места поломки до финальной точки встречи.

Упростим задачу, рассматривая относительное движение:

Когда лодка начала двигаться вниз после ремонта, она была на расстоянии \( S_1 + S_2 \) от плотов (если считать, что поломка произошла на какое-то время после встречи).

Важно: лодка встретила плоты, двигаясь вверх. Затем мотор заглох, и лодка начала плыть вниз. Лодка плыла вниз 0.5 часа. За это время она проплыла \( 0.5(v_л + v_т) \). Плоты за это же время проплыли \( 0.5 v_т \).

Через час после встречи лодка встретила плоты, двигаясь вверх. Расстояние, которое прошла лодка против течения: \( v_л - v_т \).

Затем мотор заглох. Лодка плыла вниз 0.5 часа. За это время она проплыла \( 0.5(v_л + v_т) \). За то же время плоты проплыли \( 0.5 v_т \).

После ремонта лодка плыла \( t \) часов и нагнала плоты. В этот момент она находилась на расстоянии 7,5 км от места первой встречи. Это означает, что плоты прошли 7,5 км от точки первой встречи. Время, за которое плоты прошли 7,5 км: \( t = \frac{7.5}{v_т} \).

За это время \( t \) лодка, двигаясь вниз, прошла расстояние \( (v_л + v_т)t \) от места ремонта.

Место ремонта находилось на расстоянии \( S_1 \) от точки встречи (вверх) и \( S_2 \) от точки поломки (вниз). Общее расстояние от начальной точки встречи до места ремонта: \( v_л - v_т - 0.5(v_л + v_т) \) (если считать, что ремонт произошел сразу после прохождения лодкой точки первой встречи вверх, и потом она двигалась вниз).

Рассмотрим движение относительно плотов:

Лодка начала двигаться вниз со скоростью \( v_л + v_т \) после ремонта. Плоты двигались со скоростью \( v_т \). Скорость сближения лодки с плотами равна \( (v_л + v_т) - v_т = v_л \).

Разница расстояний, которую лодка должна была преодолеть, чтобы нагнать плоты:

Лодка проплыла вверх \( v_л - v_т \) за 1 час. В момент поломки она оказалась на некотором расстоянии от плотов.

Давайте вернемся к условию: