2. Используя результаты вычислений в задании 1а, постройте график функции g(x) = x² + 4x + 2. Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых g(x) < 0 и g(x) > 0; б) промежутки убывания и возрастания функции; наименьшее её значение.

Вершина параболы — \((-2; -2)\), ветви направлены вверх. Для построения удобно также использовать точки \((-4; 2)\) и \((0; 2)\), симметричные относительно оси \(x=-2\).

График функции \(g(x)=x^2+4x+2\):

а) Нули получаем из уравнения \(x^2+4x+2=0\):

\(D=4^2-4\cdot1\cdot2=8\), поэтому \(x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{2}=-2\pm\sqrt{2}\).

Так как парабола направлена вверх, функция отрицательна между корнями и положительна вне промежутка между ними.

\(g(x)<0\) при \(-2-\sqrt{2}<x<-2+\sqrt{2}\); \(g(x)>0\) при \(x<-2-\sqrt{2}\) или \(x>-2+\sqrt{2}\).

б) До вершины функция убывает, после вершины возрастает. Наименьшее значение достигается в вершине.

Ответ: нули \(x=-2\pm\sqrt{2}\); \(g(x)<0\) на \((-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2})\), \(g(x)>0\) на \((-\infty;-2-\sqrt{2})\cup(-2+\sqrt{2};+\infty)\); убывает на \((-\infty;-2)\), возрастает на \((-2;+\infty)\); наименьшее значение равно \(-2\).