2. Исследовать график на свойства: а) y = 2ˣ − 1; б) y = 2ˣ − 2; в) y = (1/2)ˣ − 1; г) y = 3 · 2ˣ; д) y = 3ˣ + 1.

Используем свойства показательной функции: при основании a > 1 функция aˣ возрастает, а при 0 < a < 1 — убывает. Её область определения — все действительные числа, значения положительны. Вертикальный сдвиг изменяет область значений и горизонтальную асимптоту.

1. y = 2ˣ − 1. Область определения: ℝ. Так как 2ˣ > 0, область значений: (−1; +∞). Функция непрерывна и строго возрастает. Нуль: 2ˣ − 1 = 0, откуда x = 0; график пересекает обе координатные оси в точке (0; 0). Знак: отрицательна при x < 0 и положительна при x > 0. Горизонтальная асимптота: y = −1.

2. y = 2ˣ − 2. Область определения: ℝ; область значений: (−2; +∞). Функция непрерывна и строго возрастает. Нуль: 2ˣ = 2, значит x = 1; пересечение с осью Oy: (0; −1). Функция отрицательна при x < 1 и положительна при x > 1. Горизонтальная асимптота: y = −2.

3. y = (1/2)ˣ − 1. Область определения: ℝ; область значений: (−1; +∞). Функция непрерывна и строго убывает, поскольку 0 < 1/2 < 1. Нуль: x = 0; график проходит через точку (0; 0). Функция положительна при x < 0 и отрицательна при x > 0. Горизонтальная асимптота при x → +∞: y = −1.

4. y = 3 · 2ˣ. Область определения: ℝ; область значений: (0; +∞). Функция непрерывна и строго возрастает. Нулей нет; пересечение с осью Oy: (0; 3). Функция положительна при всех x. Горизонтальная асимптота: y = 0.

5. y = 3ˣ + 1. Область определения: ℝ; область значений: (1; +∞). Функция непрерывна и строго возрастает. Нулей нет; пересечение с осью Oy: (0; 2). Функция положительна при всех x. Горизонтальная асимптота: y = 1.

Ответ: все функции непрерывны и определены на ℝ; области значений, монотонность, нули, знаки и горизонтальные асимптоты указаны для каждой функции.