2. Исследуй функцию и построй её график: f(x) = 3x² - x³

Исследование функции f(x) = 3x² - x³:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, D(f) = (-∞; +∞).
2. Пересечение с осями:
   • С осью Oy: При x = 0, f(0) = 3(0)² - (0)³ = 0. Точка (0, 0).
   • С осью Ox: При f(x) = 0, 3x² - x³ = 0 => x²(3 - x) = 0. Корни: x = 0 (двукратный) и x = 3. Точки (0, 0) и (3, 0).
3. Производная и точки экстремума:
   • f'(x) = 6x - 3x².
   • Приравниваем производную к нулю: 6x - 3x² = 0 => 3x(2 - x) = 0. Критические точки: x = 0 и x = 2.
   • Исследуем знаки производной:
     • На интервале (-∞; 0): f'(-1) = 6(-1) - 3(-1)² = -6 - 3 = -9 < 0. Функция убывает.
     • На интервале (0; 2): f'(1) = 6(1) - 3(1)² = 6 - 3 = 3 > 0. Функция возрастает.
     • На интервале (2; +∞): f'(3) = 6(3) - 3(3)² = 18 - 27 = -9 < 0. Функция убывает.
   • Экстремумы:
     • В точке x = 0 происходит смена знака производной с '-' на '+', значит, это точка минимума. f(0) = 0. Точка минимума (0, 0).
     • В точке x = 2 происходит смена знака производной с '+' на '-', значит, это точка максимума. f(2) = 3(2)² - (2)³ = 12 - 8 = 4. Точка максимума (2, 4).
4. Поведение функции на бесконечности:
   • lim (x→+∞) (3x² - x³) = lim (x→+∞) x³(3/x - 1) = +∞ * (-1) = -∞.
   • lim (x→-∞) (3x² - x³) = lim (x→-∞) x³(3/x - 1) = -∞ * (-1) = +∞.

График функции:

Ответ: График построен на основе исследования, точки экстремума: (0, 0) - минимум, (2, 4) - максимум. Функция пересекает ось Ox в точках (0, 0) и (3, 0).