2. Исследуйте на чётность функцию: 1) y = \(\frac{7x^5}{x^2-10}\); 2) y = \(\frac{\sqrt{6-x}-\sqrt{6+x}}{x}\).

Решение:

1) \( y = \frac{7x^5}{x^2-10} \)

Чтобы исследовать функцию на чётность, нужно проверить, выполняется ли условие \( f(-x) = f(x) \) (чётная функция) или \( f(-x) = -f(x) \) (нечётная функция).

1. Область определения функции: \( x^2 - 10
   e 0 \implies x^2
   e 10 \implies x
   e \pm\sqrt{10} \). Область определения симметрична относительно нуля.
2. Вычислим \( f(-x) \):
• \( f(-x) = \frac{7(-x)^5}{(-x)^2-10} = \frac{7(-x^5)}{x^2-10} = \frac{-7x^5}{x^2-10} \)
3. Сравним \( f(-x) \) с \( f(x) \) и \( -f(x) \):
• \( f(-x) = \frac{-7x^5}{x^2-10} \)
• \( -f(x) = -\frac{7x^5}{x^2-10} = \frac{-7x^5}{x^2-10} \)
4. Так как \( f(-x) = -f(x) \), функция является нечётной.

2) \( y = \frac{\sqrt{6-x}-\sqrt{6+x}}{x} \)

1. Область определения функции:
• \( 6-x \ge 0 \implies x \le 6 \)
• \( 6+x \ge 0 \implies x \ge -6 \)
• \( x
  e 0 \)

Таким образом, область определения \( [-6, 0) \cup (0, 6] \). Область определения симметрична относительно нуля.

2. Вычислим \( f(-x) \):
• \( f(-x) = \frac{\sqrt{6-(-x)}-\sqrt{6+(-x)}}{-x} = \frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{6-x}}{-x} = \frac{-(\sqrt{6-x}-\sqrt{6+x})}{-x} = \frac{\sqrt{6-x}-\sqrt{6+x}}{x} \)
3. Сравним \( f(-x) \) с \( f(x) \):
• \( f(-x) = \frac{\sqrt{6-x}-\sqrt{6+x}}{x} \)
• \( f(x) = \frac{\sqrt{6-x}-\sqrt{6+x}}{x} \)
4. Так как \( f(-x) = f(x) \), функция является чётной.

Ответ: 1) Функция является нечётной. 2) Функция является чётной.