2. Из 110 участников международной олимпиады английский язык знают 37 студентов, немецкий — 32, французский — 42, английский и немецкий — 11, английский и французский — 14, немецкий и французский — 8, все три языка знают 3 участника. Сколько участников международной олимпиады не знают ни одного из трёх названных языков?

Сначала найдём число участников, знающих хотя бы один язык. При сложении численностей отдельных групп участники, знающие два языка, учитываются дважды, а знающие все три — трижды. Поэтому вычитаем попарные пересечения, затем прибавляем пересечение всех трёх групп.

По формуле включений-исключений:

\(|A ∪ B ∪ C| = 37 + 32 + 42 − 11 − 14 − 8 + 3 = 81\).

Тогда число участников, не знающих ни одного из этих языков: \(110 − 81 = 29\).

Ответ: 29 участников.