Ответ:

  1. Биться как рыба об лёд — стараться, прилагать усилия, обычно без заметного результата.
  2. Водить за нос — обманывать, вводить в заблуждение.
  3. Зарубить на носу — крепко запомнить.
  4. Взяться за ум — начать вести себя разумно, исправиться.