2. Из некоторого числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа также вычли сумму цифр (новую). После 11 таких вычитаний впервые получился 0. Какое число было первым?

Решение:

Любое натуральное число \( n \) можно представить как \( n = 9k + s \), где \( s \) — сумма его цифр. При вычитании суммы цифр из числа мы получаем \( n - s = 9k \), то есть число, кратное 9.

Если мы из \( n \) вычитаем \( s \), мы получаем число, кратное 9. Из полученного числа снова вычитаем сумму его цифр, и так далее. После каждого шага число остается кратным 9. Следовательно, число 0, полученное после 11 вычитаний, также должно быть кратно 9.

Пусть \( x_0 \) — исходное число. \( x_1 = x_0 - S(x_0) \), \( x_2 = x_1 - S(x_1) \), ..., \( x_{11} = x_{10} - S(x_{10}) = 0 \).

Из свойства \( n ≡ S(n) (mod 9) \), следует, что \( n - S(n) \) делится на 9.

Значит, \( x_0 ≡ S(x_0) (mod 9) \).

\( x_1 \) делится на 9. \( x_2 = x_1 - S(x_1) \). Так как \( x_1 \) делится на 9, то \( x_1 ≡ 0 (mod 9) \). \( S(x_1) ≡ x_1 (mod 9) \), значит \( S(x_1) ≡ 0 (mod 9) \).

Таким образом, \( x_2 \) делится на 9. Продолжая эту логику, мы приходим к выводу, что \( x_{10} \) делится на 9. И \( x_{11} = x_{10} - S(x_{10}) = 0 \). Это означает, что \( x_{10} \) делится на 9.

Теперь рассмотрим, как быстро число уменьшается. Каждый раз, когда мы вычитаем сумму цифр, число уменьшается. Если число трехзначное, то максимальная сумма цифр равна \( 9+9+9=27 \). Если число четырехзначное, то максимальная сумма цифр равна \( 9+9+9+9=36 \).

Чтобы получить 0 после 11 вычитаний, исходное число должно быть достаточно большим, чтобы его сумма цифр была меньше самого числа. Если число \( X \) вычитается \( k \) раз, чтобы получить 0, то \( X ≡ 0 (mod 9) \).

Рассмотрим, как число уменьшается. Если число \( N \) имеет \( d \) цифр, то \( N ≥ 10^{d-1} \). Сумма цифр \( S(N) ≤ 9d \).

Если \( N \) — 100, \( S(N)=1 \). \( 100-1=99 \). \( 99-18=81 \). \( 81-9=72 \). \( 72-9=63 \). \( 63-9=54 \). \( 54-9=45 \). \( 45-9=36 \). \( 36-9=27 \). \( 27-9=18 \). \( 18-9=9 \). \( 9-9=0 \). Это 11 вычитаний.

Значит, исходное число было 100.

Проверим:

1. 100 - (1+0+0) = 99
2. 99 - (9+9) = 99 - 18 = 81
3. 81 - (8+1) = 81 - 9 = 72
4. 72 - (7+2) = 72 - 9 = 63
5. 63 - (6+3) = 63 - 9 = 54
6. 54 - (5+4) = 54 - 9 = 45
7. 45 - (4+5) = 45 - 9 = 36
8. 36 - (3+6) = 36 - 9 = 27
9. 27 - (2+7) = 27 - 9 = 18
10. 18 - (1+8) = 18 - 9 = 9
11. 9 - (9) = 0

Получилось 11 вычитаний.

Ответ: 100