2. Из точек A и B, лежащих на одной из сторон данного острого угла с вершиной O, проведены перпендикуляры AC и BD ко второй стороне угла. а) Найдите ∠ABD, если ∠CAB = 130°. б) Используя дополнительное построение, найдите угол AOC.

Обозначим второй стороной угла луч, на который опущены перпендикуляры AC и BD. Так как AC и BD перпендикулярны одной прямой, они параллельны.

а) Из условия ∠CAB = 130° следует, что угол между прямой AB и перпендикуляром AC равен 130°. Поэтому острый угол между прямыми AB и стороной угла равен 130° − 90° = 40°. Угол ∠ABD образован лучами BA и BD; поскольку BA противоположен AB, а BD параллелен AC, он смежный с углом 130°.

∠ABD = 180° − 130° = 50°.

б) Дополнительно проведём через A прямую, параллельную BD. Она перпендикулярна второй стороне угла. Угол между этой прямой и OA равен 90°, а угол между OA и второй стороной угла — ∠AOC. Из пункта а) острый угол между сторонами исходного угла равен 40°.

Ответ: а) 50°; б) ∠AOC = 40°.