2. Из точки A, удалённой от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные AB и AC под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол 120°. Найдите BC.

Обозначим через H основание перпендикуляра из A на плоскость γ. Тогда \(AH=d\), а треугольники AHB и AHC прямоугольные.

1. Из угла между наклонной и плоскостью получаем \(\angle ABH=\angle ACH=30^\circ\). Поэтому проекции равны:

\(HB=HC=\frac{AH}{\tan30^\circ}=\sqrt3d.\)

2. Угол между проекциями — это \(\angle BHC=120^\circ\). По теореме косинусов:

\(BC^2=HB^2+HC^2-2\cdot HB\cdot HC\cos120^\circ=3d^2+3d^2+3d^2=9d^2.\)

Так как \(d>0\), получаем \(BC=3d\).

Ответ: \(3d\).