2) Из точки M к плоскости α проведены две наклонные, длины которых равны 18 см и 2√109 см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. Найдите расстояние от точки M до плоскости α.

Обозначим расстояние от M до плоскости α через h, а длины проекций наклонных — через 3x и 4x. Более длинной наклонной соответствует более длинная проекция, поэтому наклонной длины 18 см соответствует проекция 3x, а наклонной длины 2√109 см — проекция 4x.

По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников:

\(h^2+(3x)^2=18^2=324\),

\(h^2+(4x)^2=(2\sqrt{109})^2=436\).

Вычтем первое равенство из второго:

\(16x^2-9x^2=436-324\), значит \(7x^2=112\), откуда \(x^2=16\).

Тогда \(h^2=324-9\cdot16=180\), следовательно, \(h=\sqrt{180}=6\sqrt5\) см.

Ответ: \(6\sqrt5\) см.