2. Из точки O проведены лучи OA, OB, OC и OK, причём OB ⟂ OA, OK — биссектриса угла COB. Найдите: а) углы AOK, AOC и KOB, если угол, образованный биссектрисами углов AOB и BOC, равен 20° (рис. 21); б) углы AOK, BOK и AOC, если угол, образованный биссектрисами углов AOB и BOC, равен 75° (рис. 22).

а) ∠AOB = 90°. Обозначим ∠BOC = x. По расположению лучей на рис. 21 угол между биссектрисами равен 45° − x/2. Поэтому 45° − x/2 = 20°, откуда x = 50°.

OK — биссектриса ∠BOC, значит ∠KOB = 50° ÷ 2 = 25°. Тогда ∠AOC = 90° − 50° = 40°, а ∠AOK = ∠AOB − ∠BOK = 90° − 25° = 65°.

б) Обозначим ∠BOC = x. По расположению лучей на рис. 22 угол между биссектрисами равен 45° + x/2. Поэтому 45° + x/2 = 75°, откуда x = 60°.

Так как OK — биссектриса, ∠BOK = 60° ÷ 2 = 30°. Следовательно, ∠AOK = 90° − 30° = 60° и ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 60° = 150°.

Ответ: а) ∠AOK = 65°, ∠AOC = 40°, ∠KOB = 25°; б) ∠AOK = 60°, ∠BOK = 30°, ∠AOC = 150°.